Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, Grüß Gott zusammen.

Wir haben uns jetzt schon einige Zeit mit Determinanten beschäftigt.

Das ist wichtig, aber vieles lässt sich in der Lina & Algebra auch ohne Determinanten

machen.

Es gibt hier besondere, die anscheinend so handliche Formel, eine Matrix ist dann invertierbar,

wenn die Determinante ungleich Null ist.

Ist vielleicht gar nicht so handlich, wenn man sich die Problematik anschaut, die mit

der Berechnung der Determinante zusammenhängt.

Was interessant an der Stelle ist, das Determinante ist ja eben ein nicht-lineare Ausdruck, obwohl

wir hier lineare Strukturen untersuchen.

Das wird uns dann auch noch, auf jeden Fall im nächsten Semester, sehr umfangreich in

diesem Semester auch noch begegnen mit den Eigenwerten, die wirklich dann ein ganz, ganz

zentraler Punkt sind.

Aber die Determinante ist natürlich schon ein wesentliches Hilfsmittel.

Und die Berechnungsfrage haben wir im Prinzip geklärt, mit Hilfe des Gauss-Verfahrens.

Jetzt gibt es noch eine andere Methode, Determinanten auszurechnen, wenn man genau hinschaut, allerdings

nur für den Fall, dass entweder diese Determinanten, die Matrizen, sehr speziell strukturiert sind.

Das heißt also, viele Null-Einträge oder gewisse Null-Einträge haben, ohne dass es

notwendigerweise eine obere Dreiecksmatrix ist oder eine obere Block-Dreiecksmatrix ist.

Und in dem Fall kann man mit dem sogenannten Entwicklungsatz oder laplastischen Entwicklungsatz

ganz gut zurechtkommen.

Es ist auch ein Hilfsmittel, um allgemeine Aussagen über Klassenformatrizen zu machen,

wenn man gewisse Struktur hat, wie dann gegebenenfalls die Determinante aussehen kann.

Also schauen wir uns mal die Formulierung an.

Man nennt das Entwicklung nach einer Zeile oder nach einer Spalte.

Wir schauen uns nun mal die Formulierung erst mal nach der Zeile an.

Da kommt jetzt eine neue Notation, die Matrix AKL.

Das bedeutet jetzt hier in dem Kontext nicht eine Teilmatrix, wie sie bei einer Partitionierung

entsteht.

Es ist schon eine Art Teilmatrix, aber eine ganz spezielle, die eben dadurch entsteht,

dass ich die Karte zeile und die älteste Spalte aus der Matrix streiche.

Das heißt, ich mache aus der N-Kreuz-N-Matrix eine kleinere, eine N-1-Kreuz-N-1-Matrix.

Das bedeutet diese Bezeichnung hier.

Und der Entwicklungsatz nach der Zeile sagt jetzt, ich kann mir eine beliebige Zeile L

auswählen und dann kann ich die Determinante berechnen aus den Determinanten der Streichungsmatrizen,

in dem eben diese Zeile L gestrichen wird und sukzessive alle Spalten K, diese Determinanten

der kleineren Matrizen sind zu multiplizieren mit dem Eintrag ALK, der gerade eben zu diesen

beiden Zeilen und respektive Spalten gehört, zu mal einem Faktor minus eins hoch K plus

L und darüber ist zu addieren.

Das Ganze ist also eben dann von Vorteil, wenn diese Zeile nach der wir entwickeln möglichst

viele Null-Einträge hat, also im Idealfall nur an einer Position von Null verschieden

ist, dann bleibt hier dann eben natürlich nur eins umandt übrig und dann sind wir tendenziell

erstmal die Situation einfacher geworden, weil wir hier eine Dimension abgestiegen sind.

Das Gleiche gilt genauso jetzt für Spalten, denn wir wissen ja, die Determinante von A

ist die Determinante von A transponiert, alles was wir in Zeilen formulieren können, können

wir auch in Spalten formulieren.

Wir wenden diesen Satz hier auf die transponierte Matrix an, für die Matrix A sind das dann

die Spalten und dann steht eben hier diese Entwicklungsformel.

Was ist jetzt los, jetzt nach der Kartenspalte da.